Question

如圖，多邊形ABCDE中，∠ABC＝90°，AD∥BC，△ADE是正三角形，AD＝2，AB＝BC＝1，沿直線AD將△ADE折起至△ADP的位置，連接PB，BC，構成四棱錐P－ABCD，使得∠PAB＝90°.點O為線段AD的中點，連接PO.

（1）求證：PO⊥平面ABCD；

（2）求異面直線CD與PA所成角的余弦值.

 

Answer 1

（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）利用線線垂直證明線線垂直，注意“相交直線”這一條件的使用；（2）通過平行線，將異面直線轉化為相交直線，再構造三角形，通過余弦定理可求得其余弦值.

試題解析： （1）證明：∵∠ABC＝90°，AD∥BC，

（注：證到BA⊥面PAD、PO⊥面ABCD各給3分.）

（2） 取PD中點F，連接BO、OF、BF.

由平幾知識可得：OF∥PA，BO∥CD， 1分

∠BOF為所求異面直線PA與CD所成的角或補角. 1分

可求，|OF|＝1，|BF|＝2 . 1分

在△BOF中，由余弦定理可得：. 2分

所求異面直線PA與CD所成角的余弦值為：. 1分

（注：考生用其它方法求得答案，不扣分.解答步驟參考本答案給分.）

考點：空間線面關系，異面直線所成角