Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且S_n=2n²+n，n∈N^*，數(shù)列{b_n}滿足a_n=4log₂b_n+3，n∈N^*．
（Ⅰ）求a_n和b_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)遞推關(guān)系式求出數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用a_n的通項(xiàng)公式求出數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用乘公比錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且S_n=2n²+n，n∈N^*，
則：a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
=2n²+n-2（n-1）²-（n-1）
=4n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3符合通項(xiàng)公式，
所以：a_n=4n-1．
由于：數(shù)列{b_n}滿足a_n=4log₂b_n+3，n∈N^*．
則：4n-1=4log₂b_n+3，
所以：bn=2n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：設(shè)c_n=anbn=(4n-1)2n-1，
則：T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•2⁰+7•2¹+…+（4n-1）2^n-1①
2Tn=3•21+7•22+…+(4n-1)2n②
①-②得：-Tn=4(20+21+…+2n-1)-（4n-1）2ⁿ-1，
整理得：Tn=(4n-5)2n+5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等差與等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，乘公比錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．