4．F1、F2分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點，若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（　�。�
A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．$\sqrt{5}$D．$\sqrt{7}$

分析 由雙曲線的定義，可得F1A-F2A=F1A-AB=F1B=2a，BF2-BF1=2a，BF2=4a，F(xiàn)1F2=2c，再在△F1BF2中應用余弦定理得，a，c的關系，由離心率公式，計算即可得到所求．

解答 解：因為△ABF2為等邊三角形，不妨設AB=BF2=AF2=m，
A為雙曲線上一點，F(xiàn)1A-F2A=F1A-AB=F1B=2a，
B為雙曲線上一點，則BF2-BF1=2a，BF2=4a，F(xiàn)1F2=2c，
由∠ABF2=60°，則∠F1BF2=120°，
在△F1BF2中應用余弦定理得：4c2=4a2+16a2-2•2a•4a•cos120°，
得c2=7a2，則e2=7，解得e=$\sqrt{7}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是坐標平面內一點，且$|{\overrightarrow{OP}}|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}，\overrightarrow{P{F_1}}•{\overrightarrow{PF}_2}=\frac{3}{4}$，其中O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點$S（{0，\frac{1}{3}}）$，且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點，在y軸上是否存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個定點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

15．已知拋物線C：y2=2px（p＞0）與直線$x-\sqrt{2}y+4=0$相切．
（1）求該拋物線的方程；
（2）在x軸正半軸上，是否存在某個確定的點M，過該點的動直線l與拋物線C交于A，B兩點，使得$\frac{1}{{|AM{|^2}}}+\frac{1}{{|BM{|^2}}}$為定值．如果存在，求出點M坐標；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜|x|+1；
（Ⅱ）若對于x，y∈R，有|x-y-1|≤$\frac{1}{3}$，|2y+1|≤$\frac{1}{6}$，求證：f（x）＜1．

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19．已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+m（m∈R），當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的最小值為-1．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，已知f（C）=1，AC=4，延長AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

9．已知復數(shù)z滿足：$\frac{{z（1+i）{i^3}}}{2-i}=1-i$則復數(shù)$\overline z$的虛部為（　�。�
A．iB．-iC．1D．-1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

16．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{e^x}，x≥-1}\\{ln（-x），x＜-1}\end{array}}\right.$，則“x=0”是“f（x）=1”的（　�。�
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

13．已知向量$\overrightarrow m=（2coswx，-1），\overrightarrow n=（\sqrt{3}sinwx+coswx，2）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+1$，若函數(shù)f（x）圖象的兩個相鄰的對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若△ABC滿足f（A）=1，a=3，BC邊上的中線長為3，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

14．平面內有兩定點A，B及動點P，設命題甲：“|PA|與|PB|之差的絕對值是定值”，命題乙：“點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線”，那么命題甲是命題乙的（　　）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件

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