Question

5．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸．建立極坐標(biāo)系設(shè)曲線(xiàn)C：$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），宣線(xiàn)l：ρ（4cosθ-5sinθ）+40=0
（Ⅰ）寫(xiě)出曲線(xiàn)C的普通方程和直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程
（Ⅱ）求曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的最小距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線(xiàn)C的參數(shù)方程，能求出曲線(xiàn)C的普通方程，由直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程，能求出直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)C上的點(diǎn)為P（5cosα，3sinα），利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式能求出曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的最小距離．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線(xiàn)C：$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴曲線(xiàn)C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
∵直線(xiàn)l：ρ（4cosθ-5sinθ）+40=0，
∴直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為：4x-5y+40=0．
（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)C上的點(diǎn)為P（5cosα，3sinα），
P（5cosα，3sinα）到直線(xiàn)l的距離：
d=$\frac{|20cosα-15sinα+40|}{\sqrt{16+25}}$=$\frac{|40+25sin（α+θ）|}{\sqrt{41}}$，
∵sin（α+θ）∈[-1，1]．
∴當(dāng)sin（α+θ）=-1時(shí)，曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的最小距離d_min=$\frac{15\sqrt{41}}{41}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)的普通方程和直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程的求法，考查曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最小距離的求法，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．