Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，a₄}，B={0，1，2，3}，f是從A到B的映射．
（1）若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個？
（2）若B中的元素0必無原象，這樣的f有多少個？
（3）若f滿足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=4，這樣的f又有多少個？

Answer 1

解：（1）顯然對應是一一對應的，即為a₁找象有4種方法，a₂找象有3種方法，a₃找象有2種方法，a₄找象有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×1=24（個）．
（2）0必無原象，1，2，3有無原象不限，所以為A中每一元素找象時都有3種方法．所以不同的f共有3⁴=81（個）．
（3）分為如下四類：
第一類，A中每一元素都與1對應，有1種方法；
第二類，A中有兩個元素對應1，一個元素對應2，另一個元素與0對應，有12種方法；
第三類，A中有兩個元素對應2，另兩個元素對應0，有6種方法；
第四類，A中有一個元素對應1，一個元素對應3，另兩個元素與0對應，有12種方法．
所以不同的f共有1+12+6+12=31（個）．
分析：（1）顯然對應是一一對應的，即為a₁找象有4種方法，a₂找象有3種方法，a₃找象有2種方法，a₄找象有1種方法，最后利用乘法原理即可求得不同的f有多少個；
（2）分析可知：0必無原象，1，2，3有無原象不限，所以為A中每一元素找象時都有3種方法．利用乘法原理即可求得不同的f有多少個；
（3）先進行分類討論：第一類，A中每一元素都與1對應，有1種方法；第二類，A中有兩個元素對應1，一個元素對應2，另一個元素與0對應，有12種方法；第三類，A中有兩個元素對應2，另兩個元素對應0，有6種方法；第四類，A中有一個元素對應1，一個元素對應3，另兩個元素與0對應，有12種方法．利用加法原理即可求得不同的f有多少個；
點評：本題考查映射的定義，像與原像的定義，讓學生不僅會求指定元素象與原象，而且明確求象與原象的方法．