Question

已知函數f（x）=log_ax（x∈[1，6-a]）的最大值為

1

2

，其中常數a＞0，且a≠1．
（1）求a的值；
（2）設函數g（x）滿足：①g（x）是定義在R上的偶函數，②對?x∈R，g（x+2）=g（x），③當x∈[1，6-a]時，g（x）=f（x）．求函數g（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0可判斷f（x）為增函數，從而有f（6-a）=

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2

，解出即可；
（2）由②知函數g（x）的周期為2，由③知當x∈[1，2]時，g（x）=log₄x，先求x∈[-1，1]時，g（x）表達式，則對?x∈R，存在k∈Z，使得x∈[2k-1，2k+1），由x-2k∈[-1，1）可求g（x）；

解答：解：（1）由a＞0，a≠1，6-a＞1知0＜a＜5且a≠1，
當x∈[1，6-a]時，f（x）=log_ax是單調函數，由f(1)=0＜

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2

知f（x）是單調增函數，
故f（x）_max=f（6-a）=log_a（6-a）=

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2

，
即6-a=

a

，(

a

+3)(

a

-2)=0，解得a=4；
（2）由②知函數g（x）是周期為2的周期函數，
由③知當x∈[1，2]時，g（x）=log₄x，
由①知當x∈[-1，1]時，|x|≤1，2-|x|∈[1，2]，g（x）=g（-|x|）=g（2-|x|）=log₄（2-|x|）．
對?x∈R，存在k∈Z，使得x∈[2k-1，2k+1），x-2k∈[-1，1），g（x）=g（x-2k）=log₄（2-|x-2k|）．    
故函數g（x）在R上的解析式為g（x）=log₄（2-|x-2k|），其中x∈[2k-1，2k+1），k∈Z．

點評：本題考查函數奇偶性、周期性、單調性的綜合應用，考查函數解析式的求解，綜合性較強，運算量較大．