已知點H(－3，0)，點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足，．

(Ⅰ)當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；

(Ⅱ)過定點D(m，0)(m＞0)作直線l交軌跡C于A、B兩點，E是D點關(guān)于坐標原點O的對稱點，求證：∠AED＝∠BED；

(Ⅲ)在(Ⅱ)中，是否存在垂直于x軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在求出的方程；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)設(shè)

　　

　　且　　　　　2分

　　　　　　　　　　　　　3分

　　　　　　　　　　　　　4分

　　∴動點M的軌跡C是以O(shè)(0，0)為頂點，以(1，0)為焦點的拋物線(除去原點).

　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

　　(Ⅱ)

　　解法一：(1)當直線垂直于軸時，根據(jù)拋物線的對稱性，有；　　6分

　　(2)當直線與軸不垂直時，依題意，可設(shè)直線的方程為，，則A，B兩點的坐標滿足方程組

　　

　　消去并整理，得

　　

　　　　　7分

　　設(shè)直線AE和BE的斜率分別為，則

　　＝

　　　　　9分

　　

　　

　　，

　　.

　　綜合(1)、(2)可知.　　　　　　　　　　　10分

　　解法二：依題意，設(shè)直線的方程為，，則A，B兩點的坐標滿足方程組

　　

　　消去并整理，得

　　

　　　　　7分

　　設(shè)直線AE和BE的斜率分別為，則

　　＝

　　　　　9分

　　

　　

　　，

　　.　　　　　　10分

　　(Ⅲ)假設(shè)存在滿足條件的直線，其方程為，AD的中點為，與AD為直徑的圓相交于點F、G，FG的中點為H，則，點的坐標為.

　　

　　

　　

　　　　　　　　　　　　　12分

　　

　　令，得

　　此時，

　　∴當，即時，(定值)

　　∴當時，滿足條件的直線存在，其方程為；當時，滿足條件的直線不存在.　　　　　　　　　　　14分


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過點（1，0）作直線L交軌跡C于A、B兩點，已知
AF
=2
FB
，求直線L的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
①當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
②過點R（2，1）作直線l與軌跡C交于A，B兩點，使得R恰好為弦AB的中點，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過定點D（m，0）（m＞0）作直線l交軌跡C于A、B兩點，E是D點關(guān)于坐標原點O的對稱點，試問∠AED=∠BED嗎？若相等，請給出證明，若不相等，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•和平區(qū)三模）已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在直線PQ上，且
HP
•
PM
=0，又
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=k（x-1）（k＞2）與軌跡C交于A、B兩點，AB中點N到直線3x+4y+m=0（m＞-3）的距離為
1
5
，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•盧灣區(qū)二模）如圖，已知點H（-3，0），動點P在y軸上，點Q在x軸上，其橫坐標不小于零，點M在直線PQ上，且滿足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
（2）過定點F（1，0）作互相垂直的直線l與l'，l與（1）中的軌跡C交于A、B兩點，l'與（1）中的軌跡C交于D、E兩點，求四邊形ADBE面積S的最小值；
（3）（在下列兩題中，任選一題，寫出計算過程，并求出結(jié)果，若同時選做兩題，
則只批閱第②小題，第①題的解答，不管正確與否，一律視為無效，不予批閱）：
①將（1）中的曲線C推廣為橢圓：
x2
2
+y2=1，并
將（2）中的定點取為焦點F（1，0），求與（2）相類似的問題的解；
②（解答本題，最多得9分）將（1）中的曲線C推廣為橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1，并
將（2）中的定點取為原點，求與（2）相類似的問題的解．

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