Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足條件：
①對(duì)任意x，y都有f（x）+f（y）=1+f（x+y）；
②對(duì)所有非0實(shí)數(shù)x，f（x）=xf（

1

x

）．
（1）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）+f（-x）=2；
（2）求函數(shù)f（x）解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，得f（0）=1，再令y=-x，即可得證；
（2）當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）=xf（

1

x

），則xf（

1

x

）+（-x）f（-

1

x

）=f（x）+f（-x）=2，即有f（

1

x

）-f（-

1

x

）=

2

x

，①又又f（

1

x

）+f（-

1

x

）=2，②，聯(lián)立①②，即可求得f（x）的解析式．

解答： （1）證明：由于對(duì)任意x，y都有f（x）+f（y）=1+f（x+y），
令x=y=0，得，2f（0）=1+f（0），即f（0）=1，
令y=-x，則f（x）+f（-x）=1+f（0）=2，
則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）+f（-x）=2；
（2）解：由于f（0）=1，f（x）+f（-x）=2，
當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）=xf（

1

x

），
則xf（

1

x

）+（-x）f（-

1

x

）=f（x）+f（-x）=2，
即有f（

1

x

）-f（-

1

x

）=

2

x

，①
又f（

1

x

）+f（-

1

x

）=2，②
由①②解得，f（

1

x

）=1+

1

x

，
即有f（x）=x+1，對(duì)于x=0也成立．
故函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，正確賦值是迅速解題的關(guān)鍵，考查函數(shù)解析式的求法：函數(shù)方程法，屬于中檔題．