Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且｜F₁F₂｜＝2，點P（1，）在橢圓C上.

（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動直線：與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且，，四邊形面積S的求最大值.

Answer 1

（I）；（II）.

解析試題分析：（I）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)已知條件列方程組，求出和的值，然后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）根據(jù)動直線與橢圓的交點個數(shù)，聯(lián)立方程組求的關(guān)系式，再由點到直線的距離公式求得和的代數(shù)式，因為四邊形是直角梯形，根據(jù)邊的關(guān)系求得高的代數(shù)式，由梯形的面積公式表示出面積，利用等量代換，化簡的解析式，由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求最值.
試題解析：（I）設(shè)橢圓的方程為，
由已知可得   ，                            3分
解得，，
∴橢圓的方程為.                   5分
（II）由，得         6分
由直線與橢圓僅有一個公共點知，，
化簡得．      7分
由點到直線的距離公式，可設(shè)
，                 8分
∵，
，
∴.
∴四邊形面積.             10分                      

令，，，
當(dāng)時，，∴在上為減函數(shù)，
∴，∴當(dāng)時，
所以四邊形的面積的最大值為．                    12分
考點：1、橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；2、點到直線的距離公式；3、梯形的面積公式；4、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；5、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.