Question

19．已知命題$p：?x∈R，sinxcos（{x-\frac{π}{6}}）-cos（{\frac{2π}{3}-x}）cosx＜\frac{m}{2}$；命題q：函數(shù)f（x）=x²-mx+3在（-1，1）上僅有1個零點．
（1）若（￢p）∧q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的m的范圍，（1）由（￢p）∧q為真命題，得到p假q真，求出m的范圍即可；（2）由p∨q為真命題，p∧q為假命題，得到p，q一真一假； 求出m的范圍即可．

解答 解：依題意，$sinxcos（{x-\frac{π}{6}}）-cos（{\frac{2π}{3}-x}）cosx=sinxcos（{x-\frac{π}{6}}）-cosxsin（{x-\frac{π}{6}}）=sin\frac{π}{6}=\frac{1}{2}$，解得m＞1；
對于函數(shù)f（x）=x²-mx+3，若△=0，則函數(shù)f（x）的零點不在（-1，1）上，
故只需f（-1）f（1）＜0，解得m＜-4或m＞4，
（顯然x=-1或1時，f（x）=x²-mx+3≠0，否則在區(qū)間（-1，1）上無零點）．
（1）若（?p）∧q為真，則實數(shù)m滿足$\left\{\begin{array}{l}m≤1\\ m＜-4或m＞4\end{array}\right.$，
故m＜-4，即實數(shù)m的取值范圍為 （-∞，-4）．
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假； 
若p真q假，則實數(shù)m滿足$\left\{\begin{array}{l}m＞1\\-4≤m≤4\end{array}\right.$，即1＜m≤4；
若p假q真，由（1）知，故m＜-4，
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-4）∪（1，4]．

點評 本題考查了三角不等式以及二次函數(shù)的性質，考查符合命題的判斷，是一道中檔題．