Question

8．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$，|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow$-t$\overrightarrow{a}$|（t∈R）的最小值為$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為（　�。�

• A． 30°
• B． 60°
• C． 30°或150°
• D． 60°或120°

Answer 1

分析 由題意把|$\overrightarrow$-t$\overrightarrow{a}$|化為$|\overrightarrow{a}|t$ 的二次函數(shù)，結(jié)合最小值為$\sqrt{3}$求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值，則答案可求．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，∵|$\overrightarrow$|=2，
∴$|\overrightarrow-t\overrightarrow{a}|=\sqrt{（\overrightarrow-t\overrightarrow{a}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow}^{2}-2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{t}^{2}-4|\overrightarrow{a}|tcosθ+4}$，
則當(dāng)$|\overrightarrow{a}|t=2cosθ$時(shí)，有4cos²θ-8cos²θ+4=3，
即$cosθ=±\frac{1}{2}$．
∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ的取值范圍是[0，π]，
∴θ=60°或120°．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了由數(shù)量積求向量的夾角，是中檔題．