Question

已知函數f（x）=4^x+m•2^x+1．
（1）若m=-

5

2

，求函數f（x）的零點；
（2）設t=2^x，試將f（x）表示為t的函數g（t），并求當x∈[-1，1]時g（t）的最小值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：（1）若m=-

5

2

，由f（x）=0，即可求函數f（x）的零點；
（2）根據一元二次函數的性質即可得到結論．

解答： 解：（1）∵m=-

5

2

，則f（x）=4^x-

5

2

•2^x+1，
∴f(x)=0?2x=

1

2

或2?x=±1，
故f（x）的零點為-1，1
（2）∵t=2^x，∴g（t）=t²+mt+1，
則對稱軸為x=-

m

2

，
∵x∈[-1，1]，∴根據一元二次函數的單調性的性質可得：
g(t)min=

5+2m，m≤-4 1- m2 4 ，-4＜m＜-1 5+2m 4 ，m≥-1

點評：本題主要考查函數零點的求解以及一元二次函數最值的求解，利用換元法結合一元二次函數的圖象是解決本題的關鍵．