Question

19．已知函數(shù)f（x）=2lnx+x²-a²x（x＞0，a∈R）．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，求a的最小值；
（2）當(dāng)a=$\sqrt{5}$時(shí)，f（x）在區(qū)間（k-$\frac{1}{2}$，k）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，可得$\frac{2}{x}$+2x-a²≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立，分離參數(shù)求最大值，即可求a的最小值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞減區(qū)間，得到關(guān)于k的不等式組，求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2lnx+x²-a²x，
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$+2x-a²，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴$\frac{2}{x}$+2x-a²≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立，
∴a²≥$\frac{2}{x}$+2x，
∵y=$\frac{2}{x}$+2x在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
∴y_max=5，∴a²≥5，
∵a＞0，∴a≥$\sqrt{5}$；
（2）∵a=$\sqrt{5}$時(shí)，f（x）=2lnx+x²-5x，（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜2，
若f（x）在區(qū)間（k-$\frac{1}{2}$，k）上為單調(diào)函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{k-\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}}\\{k≤2}\end{array}\right.$，解得0≤k≤2．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，屬于中檔題．