Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx+sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合；
（3）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，兩角和的正弦公式化簡函數(shù)為sin(2x-

π

6

)+

1

2

，然后求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的值域，直接求出函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合；
（3）利用正弦函數(shù)的單調性，直接求出函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答：解：因為f(x)=

3

sinxcosx+sin2x
=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin2xcos

π

6

cos2xsin

π

6

+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π；
（2）當sin(2x-

π

6

)=1時，f（x）取得最大值

3

2

，
此時，2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：x=kπ+

π

3

，k∈Z，
∴f（x）的最大值為

3

2

，取得最大值是x的集合為{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}；
（3）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
則2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴f（x）的單調增區(qū)間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調性，公式應用化簡是本題解答的關鍵，三角函數(shù)在高考中�？碱}，必考題，掌握基本知識，基本方法．