Question

2．已知長(zhǎng)方體A₁B₁C₁D₁-ABCD的高為$\sqrt{2}$，兩個(gè)底面均為邊長(zhǎng)為1的正方形．
（1）求證：BD∥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）求異面直線A₁C與AD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)B₁D₁，推導(dǎo)郵四邊形B₁BDD₁為平行四邊形，從而B(niǎo)D∥B₁D₁，由此能證明BD∥平面A₁B₁C₁D₁．
（2）由：AD∥A₁D₁，知∠CA₁D₁或其補(bǔ)角是A₁C與AD所成角，由此能求出異面直線A₁C與AD所成角．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）連結(jié)B₁D₁，∵A₁B₁C₁D₁-ABCD是長(zhǎng)方體，
∴B₁B∥D₁D且B₁B=D₁D，
∴四邊形B₁BDD₁為平行四邊形，∴BD∥B₁D₁，
∵B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，BD?平面A₁B₁C₁D₁，
∴BD∥平面A₁B₁C₁D₁．…（6分）
解：（2）由長(zhǎng)方體的性質(zhì)得：AD∥A₁D₁，
∴∠CA₁D₁或其補(bǔ)角是A₁C與AD所成角．
連結(jié)D₁C，∵A₁D₁⊥平面D₁DCC₁，∴A₁D₁⊥D₁C，
在Rt△A₁D₁C中，A₁D₁=1，$C{D_1}=\sqrt{C{D^2}+{D_1}{D^2}}=\sqrt{3}$，
∴$tan∠CA{\;}_1{D_1}=\frac{{C{D_1}}}{{{A_1}{D_1}}}=\sqrt{3}$，∴$∠CA{\;}_1{D_1}=6{0^0}$，
即異面直線A₁C與AD所成角為60⁰．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．