Question

1．設函數(shù)f（x）=ax³-bx²，若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=-x+1，則當$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$時，f（x）的取值范圍是（　�。�

• A． $[0，\frac{4}{27}]$
• B． $[0，\frac{3}{8}]$
• C． [-$\frac{9}{8}$，$\frac{4}{27}$]
• D． $[-\frac{9}{8}，\frac{3}{8}]$

Answer 1

分析 由求導公式和法則求出f′（x），由導數(shù)的幾何意義和切線方程列出方程，聯(lián)立后求出a、b的值，求出f（x）、f′（x），由導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值，結合端點處的函數(shù)值求出函數(shù)的值域．

解答 解：由題意得，f′（x）=3ax²-2bx，
∵在點（1，f（1））處的切線方程為y=-x+1，
∴f′（1）=3a-2b=-1，且f（1）=a-b=0，解得a=b=-1，
∴f（x）=-x³+x²，f′（x）=-3x²+2x=x（-3x+2），
由f′（x）=0得，x=0或x=$\frac{2}{3}$，
∴當x∈（-$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）時，f′（x）＜0，則f（x）在（-$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）上是減函數(shù)，
當x∈（0，$\frac{2}{3}$）時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，$\frac{2}{3}$）上是增函數(shù)，
∴函數(shù)的極小值是f（0）=0，極大值是f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{27}$，
∵f（$-\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{8}$，f（$\frac{3}{2}$）=$-\frac{9}{8}$，
∴函數(shù)的最大值是$\frac{3}{8}$，最小值是$-\frac{9}{8}$，即值域是$[-\frac{9}{8}，\frac{3}{8}]$，
故選D．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，屬于中檔題．