1.設函數(shù)f(x)=ax3-bx2,若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=-x+1,則當$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$時,f(x)的取值范圍是( 。
A.$[0,\frac{4}{27}]$B.$[0,\frac{3}{8}]$C.[-$\frac{9}{8}$,$\frac{4}{27}$]D.$[-\frac{9}{8},\frac{3}{8}]$

分析 由求導公式和法則求出f′(x),由導數(shù)的幾何意義和切線方程列出方程,聯(lián)立后求出a、b的值,求出f(x)、f′(x),由導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值,結合端點處的函數(shù)值求出函數(shù)的值域.

解答 解:由題意得,f′(x)=3ax2-2bx,
∵在點(1,f(1))處的切線方程為y=-x+1,
∴f′(1)=3a-2b=-1,且f(1)=a-b=0,解得a=b=-1,
∴f(x)=-x3+x2,f′(x)=-3x2+2x=x(-3x+2),
由f′(x)=0得,x=0或x=$\frac{2}{3}$,
∴當x∈(-$\frac{1}{2}$,0),($\frac{2}{3}$,$\frac{3}{2}$)時,f′(x)<0,則f(x)在(-$\frac{1}{2}$,0),($\frac{2}{3}$,$\frac{3}{2}$)上是減函數(shù),
當x∈(0,$\frac{2}{3}$)時,f′(x)>0,則f(x)在(0,$\frac{2}{3}$)上是增函數(shù),
∴函數(shù)的極小值是f(0)=0,極大值是f($\frac{2}{3}$)=$\frac{4}{27}$,
∵f($-\frac{1}{2}$)=$\frac{3}{8}$,f($\frac{3}{2}$)=$-\frac{9}{8}$,
∴函數(shù)的最大值是$\frac{3}{8}$,最小值是$-\frac{9}{8}$,即值域是$[-\frac{9}{8},\frac{3}{8}]$,
故選D.

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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