Question

1．已知（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，則a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{3}$+…+$\frac{{a}_{10}}{11}$=$\frac{2047}{11}$．

Answer 1

分析 把已知等式兩邊取定積分，則答案可求．

解答 解：由（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，
得${∫}_{0}^{1}（1+x）^{10}dx{=∫}_{0}^{1}（{a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+…+{a}_{10}{x}^{10}）dx$，
∴$\frac{（1+x）^{11}}{11}{|}_{0}^{1}=（{a}_{0}x+\frac{1}{2}{a}_{1}{x}^{2}+…+\frac{{a}_{10}{x}^{11}}{11}）{|}_{0}^{1}$，
則${a}_{0}+\frac{1}{2}{a}_{1}+…+\frac{{a}_{10}}{11}=\frac{{2}^{11}}{11}-\frac{1}{11}=\frac{2047}{11}$．
故答案為：$\frac{2047}{11}$．

點評 本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，考查了定積分的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．