Question

【題目】已知△ABC為等腰直角三角形， ， ， 分別是邊和的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使平面， 分別是邊和的中點(diǎn)，平面與， 分別交于， 兩點(diǎn)．

(1)求證： ；

(2)求二面角的余弦值；

(3)求的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析，(2) ；(3) ．

【解析】試題分析：（1）ED∥平面BCH，ED∥HI，又因?yàn)?/span>ED∥BC，所以IH∥BC；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，n1＝(1，－1,1)，n2＝(0,1,2)，求出二面角；（3）＝λ，由·n2＝0，解得λ＝，所以AG＝AF＝＝.

試題解析：

(1)證明：因?yàn)?/span>D，E分別是邊AC和AB的中點(diǎn)，所以ED∥BC.

因?yàn)?/span>BC平面BCH，ED平面BCH，所以ED∥平面BCH.

因?yàn)?/span>ED平面BCH，ED平面AED，平面BCH∩平面AED＝HI，所以ED∥HI.

又因?yàn)?/span>ED∥BC，所以IH∥BC.

(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，D(0,0,0)，E(2，0,0)，A(0,0,2)，F(3,1,0)，C(0,2,0)，H(0,0,1)，B(4,2,0)，＝(－2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0，－2，1)，＝＝(1,0,0)．

設(shè)平面AGI的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，

則

令z1＝1，解得x1＝1，y1＝－1，則n1＝(1，－1,1)．

設(shè)平面CIG的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，

則

令z2＝2，解得y2＝1，則n2＝(0,1,2)．

所以cos〈n1，n2〉＝＝，所以二面角A－GI－C的余弦值為.

(3)由(2)知，＝(3,1，－2)，

設(shè)＝λ＝(3λ，λ，－2λ)，0<λ<1，

則＝－＝(0,0，－1)－(3λ，λ，－2λ)＝(－3λ，－λ，2λ－1)，由·n2＝0，解得λ＝，

故AG＝AF＝＝.