如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，，，的面積為.
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求圓的方程，若不存在，請說明理由.

（1）；（2）存在滿足條件的圓，其方程為.

解析試題分析：（1）由題設(shè)知其中
由,結(jié)合條件的面積為，可求的值，再利用橢圓的定義和勾股定理即可求得的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點；設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個交點為由圓的對稱性可知，利用在圓上及確定交點的坐標(biāo)，進而得到圓的方程.
解：（1）設(shè)，其中，
由得
從而故.
從而，由得，因此.
所以，故
因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）如圖，設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓相交，是兩個交點，，,是圓的切線，且由圓和橢圓的對稱性，易知
，
由（1）知，所以，再由得，由橢圓方程得，即，解得或.
當(dāng)時，重合，此時題設(shè)要求的圓不存在.
當(dāng)時，過分別與,垂直的直線的交點即為圓心，設(shè)
由得而故
圓的半徑
綜上，存在滿足條件的圓，其方程為：
考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3、直線與圓的位置關(guān)系；4、平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知圓心坐標(biāo)為的圓與軸及直線均相切，切點分別為、，另一圓與圓、軸及直線均相切，切點分別為、。
（1）求圓和圓的方程；
（2）過點作的平行線，求直線被圓截得的弦的長度；
 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓A：x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(1)若直線l：ax＋by－4＝0平分圓A的周長，求原點O到直線l的距離的最大值；
(2)若圓B平分圓A的周長，圓心B在直線y＝2x上，求符合條件且半徑最小的圓B的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓C的方程為，過點M（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，
直線AB恰好經(jīng)過橢圓T：（a＞b＞0）的右頂點和上頂點．
（1）求橢圓T的方程；
（2）已知直線l：y＝kx＋（k＞0）與橢圓T相交于P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，
求△OPQ面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓C經(jīng)過點A(－2,0)，B(0,2)，且圓心C在直線y＝x上，又直線l：y＝kx＋1與圓C相交于P、Q兩點．
(1)求圓C的方程；
(2)過點(0,1)作直線l1與l垂直，且直線l1與圓C交于M、N兩點，求四邊形PMQN面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓通過不同三點，且直線斜率為,
（1）試求圓的方程；
（2）若是軸上的動點，分別切圓于兩點，
①求證：直線恒過一定點;
②求的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知直線l：y=x+m，m∈R．
(1)若以點M（2，0）為圓心的圓與直線l相切與點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；
(2)若直線l關(guān)于x軸對稱的直線為lˊ，問直線lˊ與拋物線C：是否相切？說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

求過兩點A(1，4)、B(3，2)且圓心在直線y＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點P(2，4)與圓的關(guān)系．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

已知圓C過點（1,0），且圓心在x軸的正半軸上，直線：被圓C所截得的弦長為，則過圓心且與直線垂直的直線的方程為         ．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案