Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-Kx²（其中k∈R）．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)k∈[0，+∞）時(shí)，證明函數(shù)f（x）在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）將k=1代入得到f（x）的解析式，令導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解即可得到f（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值的定義，即可得到函數(shù)的極值；
（2）根據(jù)x＜1時(shí)，f（x）在（-∞，1）上無零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成證明f（x）在[1，+∞）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，對k分類討論，分別研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的取值，判斷即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=（x-1）e^x-x²，
∴f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=xe^x-2x=x（e^x-2），
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=ln2，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞ln2時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，ln2），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）和（ln2，+∞），
極大值為f（0）=-1，極小值為f（ln2）=-（ln2）²+2ln2-2；
（2）證明：∵f（x）=（x-1）e^x-Kx²（其中k∈R）．
∴f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2kx=xe^x-2kx=x（e^x-2k），
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＜0，則f（x）在（-∞，1）上無零點(diǎn)，
∴只需證明函數(shù)f（x）在[1，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
①若k∈[0，

e

2

]，
當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）≥0，則f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（1）=-k≤0，f（2）=e²-4k≥e²-2e＞0，
∴f（x）在[1，+∞）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
②若k∈（

e

2

，+∞），則f（x）在[1，ln2k）上單調(diào)遞減，（ln2k，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（1）=-k＜0，f（k+1）=ke^k+1-k（k+1）²=k[e^k+1-（k+1）²]，
令g（t）=e^t-t²，t=k+1＞2，則g′（t）=e^t-2t，g″（t）=e^t-2，
∵t＞2，則g″（t）＞0，g′（t）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g′（t）≥g′（2）=e²-4＞0，
∴g（t）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，g（t）≥g（2）=e²-4＞0，
∴f（k+1）＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，f（x）在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，研究函數(shù)的零點(diǎn)問題．對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．