Question

20．在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-\frac{a}{4}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的單位長度，且以原點為極點，x軸的正半軸為極軸）中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（1）若直l線與圓C相切，求實數(shù)a的值；
（2）若點M的直角坐標(biāo)為（1，1），求過點M且與直線l垂直的直線m的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-\frac{a}{4}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程．圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．利用點到直線的距離公式，根據(jù)直l線與圓C相切的性質(zhì)即可得出a．
（2）由直線l的方程為：3x-4y-a=0，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得：直線m的斜率為-$\frac{4}{3}$．再利用點斜式可得直線m的方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得極坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-\frac{a}{4}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程：3x-4y-a=0．
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化為：x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4，可得圓心C（2，0），半徑r=2．
∵直l線與圓C相切，∴$\frac{|6-0-a|}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=2，化為：|a-6|=10，解得a=16或-4．
（2）∵直線l的方程為：3x-4y-a=0，∴斜率為$\frac{3}{4}$，∴直線m的斜率為-$\frac{4}{3}$．
∴直線m的點斜式為：y-1=-$\frac{4}{3}$（x-1），化為4x+3y-7=0，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得極坐標(biāo)方程：4ρcosθ+3ρsinθ-7=0．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化、直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．