Question

（本小題滿分14分）設(shè)曲線在點處的切線斜率為，且。對一切實數(shù)，不等式恒成立

（Ⅰ）求的值。

（Ⅱ）求函數(shù)的表達式；

（Ⅲ）求證：

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由對一切實數(shù)，不等式恒成立，令 即可；

（Ⅱ）由題意：，根據(jù)及恒成立建立關(guān)于的關(guān)系式即可確定的值進而得到函數(shù)的表達式；

（Ⅲ）由（Ⅱ）的結(jié)果知：

于是可利用，運用放縮法證明不等式成立；也可根據(jù)所證不等式的特點用數(shù)學歸納法證明．

試題解析：【解析】
（Ⅰ）由對一切實數(shù)，不等式恒成立

得 ， 3分

（Ⅱ）

由得 得 5分

又恒成立

則由恒成立得 7分

同理由恒成立得 8分

綜上， 9分

（Ⅲ） 10分

要證原不等式，即證： 11分

14分

注：第（Ⅲ）小題也可用數(shù)學歸納法證明。

考點：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、函數(shù)解析式的求法；3、數(shù)列求和與不等式的證明．