【題目】已知函數(shù)，.其中，

（1）若.求證：.

（2）若不等式對恒成立，試求的取值范圍

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，存在，使，，故，代入，計算得到證明.

（2）將代入不等式，得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到；再設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，計算得到答案.

（1）由，得，，所以有，

所以在上單調(diào)遞增，且，，

所以存在，使，

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以，（*）

且，即，兩邊取對數(shù)，得，

代入（*），有，得證.

（2）由題意得對成立，

（�。┍匾裕瑢�代入上述不等式，得，

即，

令，

易知在上單調(diào)遞增，且，所以.

（ⅱ）下證當(dāng)時，對成立.

即證，

因為，所以，

設(shè)，則，

顯然在上單調(diào)遞減，且，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故，不等式得證.

由（�。┖停áⅲ┛芍�.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知矩形ABCD，，，AF⊥平面ABC，且.E為線段DC上一點，沿直線AE將△ADE翻折成，M為的中點，則三棱錐體積的最小值是________.

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【題目】2020年新冠肺炎疫情暴發(fā)以來，中國政府迅速采取最全面、最嚴(yán)格、最徹底的防控舉措，堅決遏制疫情蔓延勢頭，努力把疫情影響降到最低，為全世界抗擊新冠肺炎疫情做岀了貢獻(xiàn)．為普及防治新冠肺炎的相關(guān)知識，某高中學(xué)校開展了線上新冠肺炎防控知識競答活動，現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)者，他們的得分（滿分100分）數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果如圖：

（1）若此次知識競答得分整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計總體，設(shè)，分別為這200名幸運(yùn)者得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值代替），求，的值（，的值四舍五入取整數(shù)），并計算；

（2）在（1）的條件下，為感謝大家積極參與這次活動，對參與此次知識競答的幸運(yùn)者制定如下獎勵方案：得分低于的獲得1次抽獎機(jī)會，得分不低于的獲得2次抽獎機(jī)會．假定每次抽獎中，抽到18元紅包的概率為，抽到36元紅包的概率為．已知高三某同學(xué)是這次活動中的幸運(yùn)者，記為該同學(xué)在抽獎中獲得紅包的總金額，求的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算舉辦此次活動所需要抽獎紅包的總金額．

參考數(shù)據(jù)：；；．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓相交于，兩點．

（1）當(dāng)直線的斜率時，求的面積；

（2）當(dāng)時，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】秉承“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市環(huán)保部門通過制定評分標(biāo)準(zhǔn)，先對本市50%的企業(yè)進(jìn)行評估，評出四個等級，并根據(jù)等級給予相應(yīng)的獎懲，如下表所示：

評估得分

評定等級

不合格

合格

良好

優(yōu)秀

獎勵（萬元）

20

40

80

（1）環(huán)保部門對企業(yè)抽查評估完成后，隨機(jī)抽取了50家企業(yè)的評估得分（分）為樣本，得到如下頻率分布表：

評估得分

頻率

0.04

0.10

0.20

0.12

其中、表示模糊不清的兩個數(shù)字，但知道樣本評估得分的平均數(shù)是73.6.現(xiàn)從樣本外的數(shù)百個企業(yè)評估得分中隨機(jī)抽取3個，若以樣本中頻率為概率，求至少有兩家企業(yè)的獎勵不少于40萬元的概率；

（2）某企業(yè)為取得一個好的得分，在評估前投入80萬元進(jìn)行技術(shù)改造，由于技術(shù)水平問題，被評定為“合格”“良好”和“優(yōu)秀”的概率分別為，和，且由此增加的產(chǎn)值分別為20萬元，40萬元和60萬元.設(shè)該企業(yè)當(dāng)年因改造而增加的利潤為萬元，求的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合，曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（1）若，是圓上一動點，求點到直線的距離的最小值和最大值；

（2）直線與關(guān)于原點對稱，且直線截曲線的弦長等于，求的值.

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【題目】如圖，正三棱柱的每條棱的長度都相等，，分別是棱，的中點，是棱上一點，且平面.

（1）證明：平面.

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】某市在開展創(chuàng)建“全國文明城市”活動中，工作有序扎實，成效顯著，尤其是城市環(huán)境衛(wèi)生大為改觀，深得市民好評.“創(chuàng)文”過程中，某網(wǎng)站推出了關(guān)于環(huán)境治理和保護(hù)問題情況的問卷調(diào)查，現(xiàn)從參與問卷調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求出a的值；

（2）若已從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，現(xiàn)要再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，設(shè)第2組抽到人，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某班同學(xué)在假期進(jìn)行社會實踐活動，對歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次當(dāng)前投資生活方式——“房地產(chǎn)投資”的調(diào)查，得到如下統(tǒng)計和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）從年齡在歲的“房地產(chǎn)投資”人群中采取分層抽樣法抽取9人參加投資管理學(xué)習(xí)活動，其中選取3人作為代表發(fā)言，記選取的3名代表中年齡在歲的人數(shù)為，求的分布列和期望．

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