Question

11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，z=（x+1）²+（y-1）²的最大值是M，最小值是m，則M-m=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域，z=（x+1）²+（y-1）²的幾何意義為區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)P（-1，1）的距離的平方．由圖象可得P到直線x-y+1=0的距離最小，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，可得m；P到O的距離最大，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式即可得到M，進(jìn)而得到M-m．

解答 解：畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域三角形區(qū)域A，
z=（x+1）²+（y-1）²的幾何意義
為區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)P（-1，1）的距離的平方．
由圖象可得P到直線x-y+1=0的距離最小，且為$\frac{|-1-1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得m=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{1}{2}$；
又P到O的距離最大，且為$\sqrt{2}$，可得M=（$\sqrt{2}$）²=2．
即有M-m=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式組表示的平面區(qū)域，以及目標(biāo)函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．