Question

【題目】已知無窮數列的各項都是正數，其前項和為，且滿足：，，其中，常數．

（1）求證：是一個定值；

（2）若數列是一個周期數列（存在正整數，使得對任意，都有成立，則稱為周期數列，為它的一個周期），求該數列的最小周期；

（3）若數列是各項均為有理數的等差數列，（），問：數列中的所有項是否都是數列中的項？若是，請說明理由；若不是，請舉出反例．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) 最小周期為．(3)不是，見解析

【解析】

（1）由rSn＝anan+1﹣1，利用迭代法得：ran+1＝an+1（an+2﹣an），由此能夠證明an+2﹣an為定值．

（2）當n＝1時，ra＝aa2﹣1，故a2，根據數列是隔項成等差，寫出數列的前幾項，再由r＞0和r＝0兩種情況進行討論，能夠求出該數列的周期．

（3）因為數列{an}是一個有理等差數列，所以a+a＝r＝2（r），化簡2a2﹣ar﹣2＝0，解得a是有理數，由此入手進行合理猜想，能夠求出Sn．

（1）由 ①， 得 ②

②－①，得，

因為，所以（定值）．

（2）當時，，故，，

根據（1）知，數列的奇數項和偶數項分別成等差數列，公差都是，所以，

，，

當時，的奇數項與偶數項都是遞增的，不可能是周期數列，

所以，所以，，所以，數列是周期數列，其最小周期為．

（3）因為數列是有理項等差數列，由，，，得

，整理得，

得（負根舍去），

因為是有理數，所以是一個完全平方數，設（），

當時，（舍去）．

當時，由，得，

由于，，所以只有，符合要求，

此時，數列的公差，所以（）．

對任意，若是數列中的項，令，即，

則，時，，時，，

故不是數列中的項．