Question

已知函數(shù)f(x)=(x-k)2e

x

k

．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，跟據(jù)f′（x），f（x）隨x的變化情況即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)若對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的最大值，即可求出k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2(x-k) e

x

k

+

1

k

(x-k)2e

x

k

=

1

k

(x2-k2)e

x

k

，
令f′（x）=0，得x=±k
當(dāng)k＞0時(shí)，f′（x）f（x）隨x的變化情況如下：

x	（-，-k）	-k	（-k，k）	k	（k，+）
f′（x）	+	0	-	0	+
F（x）		4k2e-1		0

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-k），和（k，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-k，k）；
當(dāng)k＜0時(shí)，f′（x）f（x）隨x的變化情況如下：

x	（-∞，-k）	k	（k，-k）	-k	（-k，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
F（x）		0		4k2e-1

所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，k），和（-k，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是（k，-k）；
（Ⅱ）當(dāng)k＞0時(shí)，有f（k+1）=e

k+1

k

＞

1

e

，不合題意，
當(dāng)k＜0時(shí)，由（I）知f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（-k）=

4k2

e

，
∴任意的x∈（0，+∞），f（x）≤

1

e

，?f（-k）=

4k2

e

≤

1

e

，
解得-

1

2

≤k＜0，
故對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

e

，k的取值范圍是-

1

2

≤k＜0．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值問題，對(duì)方程f'（x）=0根大小進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，特別是（II）的設(shè)置，有關(guān)恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，增加了題目的難度．