Question

8．已知a∈R，函數(shù)f（x）=e^x-a（x+1）的圖象與x軸相切．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x＞0時，f（x）＞mx²，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，設出切點的坐標，求出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-mx²，求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x-a，依題意，設切點為（x₀，0），
則$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）=0\\ f'（{x_0}）=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{e^{x_0}}-a（{x_0}+1）=0\\{e^{x_0}}-a=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=0\\ a=1\end{array}\right.$…（3分）
所以f'（x）=e^x-1，所以，當x＜0時，f'（x）＜0；當x＞0時，f'（x）＞0．
所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）． …（5分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-mx²，則g'（x）=e^x-2mx-1，
令h（x）=g'（x），則h'（x）=e^x-2m，…（7分）
（�。┤�$m\;≤\;\frac{1}{2}$，因為當x＞0時，e^x＞1，所以h'（x）＞0，
所以h（x）即g'（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
又因為g'（0）=0，所以當x＞0時，g'（x）＞g'（0）=0，從而g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
而g（0）=0，所以g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞mx²成立． …（9分）
（ⅱ）若$m＞\frac{1}{2}$，令h'（x）=0，解得x=ln（2m）＞0，
當x∈（0，ln（2m）），h'（x）＜0，所以h（x）即g'（x）在[0，ln（2m））上單調(diào)遞減，
又因為g'（0）=0，所以當x∈（0，ln（2m））時，g'（x）＜0，
從而g（x）在[0，ln（2m））上單調(diào)遞減，
而g（0）=0，所以當x∈（0，ln（2m））時，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＞mx²不成立．
綜上所述，m的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{2}]$．            …（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．