Question

2．設(shè)實(shí)數(shù)x∈R，則y=x+$\frac{1}{x+1}$的值域?yàn)椋?∞，-3]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 把已知函數(shù)解析式變形，然后分x+1＞0和x+1＜0分類(lèi)求解得答案．

解答 解：y=x+$\frac{1}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}-1$．
當(dāng)x+1＞0時(shí)，$x+1+\frac{1}{x+1}≥2\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)$x+1=\frac{1}{x+1}$，即x=0時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)y≥1；
當(dāng)x+1＜0時(shí)，$x+1+\frac{1}{x+1}=-[-（x+1）+\frac{1}{-（x+1）}]$$≤-2\sqrt{-（x+1）•\frac{1}{-（x+1）}}=-2$，
當(dāng)且僅當(dāng)$-（x+1）=\frac{1}{-（x+1）}$，即x=-2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)y≤-3．
綜上，y=x+$\frac{1}{x+1}$的值域?yàn)椋?∞，-3]∪[1，+∞）．
故答案為：（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值域的求法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．