Question

【題目】已知F1、F2是橢圓 + =1的左、右焦點，O為坐標原點，點P（﹣1， ）在橢圓上，線段PF2與y軸的交點M滿足 + = ；
（1）求橢圓的標準方程；
（2）⊙O是以F1F2為直徑的圓，一直線l：y=kx+m與⊙O相切，并與橢圓交于不同的兩點A、B．當 =λ且滿足 ≤λ≤ 時，求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ + = ，∴點M是線段PF2的中點，

∴OM是△PF1F2的中位線，

又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1F2

∴ ，解得a2=2，b2=1，c2=1，

∴橢圓的標準方程為 =1．

（2）解：∵圓O與直線l相切，∴ ，即m2=k2+1，

由 ，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

∵直線l與橢圓交于兩個不同點，

∴△＞0，∴k2＞0，設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=﹣ ， ，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）

=

= ，

=x1x2+y1y2= =λ，

∴ ，∴ ，解得： ，

S=S△AOB=

=

= ，

設μ=k4+k2，則 ，

S= ， ，

∵S關于μ在[ ]上單調(diào)遞增，

S（ ）= ，S（2）= ．

∴ ．

【解析】（Ⅰ）由已知條件推導出 ，由此能求出橢圓的標準方程．（Ⅱ）由圓O與直線l相切，和m2=k2+1，由 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此能求出△AOB面積S的取值范圍．