Question

已知數(shù)列{a_n}滿足．
（1）若方程f（x）=x的解稱為函數(shù)y=f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，求a_n+1=f（a_n）的不動(dòng)點(diǎn)的值；
（2）若a₁=2，，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)．
（3）當(dāng)n≥3時(shí)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用不動(dòng)點(diǎn)的定義，根據(jù)方程a_n+1=f（a_n）得，由此可得結(jié)論；
（2）由數(shù)列遞推式，寫出兩式，兩式相除，可得，由此可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)；
（3）先證明b_n=＜（n≥3），再利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：由方程a_n+1=f（a_n）得，解得a_n=0或a_n=-1或a_n=1．…（2分）
（2）解：=，=
兩式相除得=，即…（5分）
由a₁=2可以得到b_n＞0，則lnb_n+1=3lnb_n
又得lnb₁=-ln3，
∴=ln
∴b_n=．…（8分）
（3）證明：當(dāng)n≥3時(shí)，3^n-1=（1+2）^n-1≥+2+…+＞2n
∴b_n=＜（n≥3）…（11分）
當(dāng)n≥3時(shí)，b₁+b₂+b₃+…+b_n＜+…+=+＜=…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查放縮法的運(yùn)用，屬于中檔題．