Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 圖象上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=e的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)g（x）=kx+2e+1的圖象上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A． （1，2）
• B． （-1，0）
• C． （-2，-1）
• D． （-6，-1）

Answer 1

分析 由題意可化為函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 圖象與y=-kx-1的圖象有且只有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合題意作圖求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 圖象上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=e的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)g（x）=kx+2e+1的圖象上，
而函數(shù)g（x）=kx+2e+1關(guān)于直線y=e的對(duì)稱圖象為y=-kx-1，
∴函數(shù)ff（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 圖象與y=-kx-1的圖象有且只有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$ 圖象與y=-kx-1的圖象如下，
，
易知直線y=-kx-1恒過點(diǎn)A（0，-1），
設(shè)直線AC與y=xlnx相切于點(diǎn)C（x，xlnx），
y′=lnx+1，
故lnx+1=$\frac{xlnx+1}{x}$，
解得，x=1；
故k_AC=1；
設(shè)直線AB與y=xlnx相切于點(diǎn)C（x，x²+4x），
y′=2x+4，
故2x+4=$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$，
解得，x=-1；
故k_AC=-2+4=2；
故1＜-k＜2，
故-2＜k＜-1；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的作圖能力及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．