Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E在棱SD上．
（Ⅰ）當(dāng)SD⊥平面AEC時(shí)，求

SE

DE

的值；
（Ⅱ）當(dāng)二面角E-AC-D的余弦值為

2 5

5

時(shí)，求直線CD與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間角

分析：（Ⅰ）當(dāng)SD⊥平面AEC時(shí)，判斷SD與AE的關(guān)系，通過(guò)解三角形即可求

SE

DE

的值；
（Ⅱ）確定，∴∠EAD就是二面角E-AC-D的平面角，利用（Ⅰ）的數(shù)據(jù)關(guān)系，推出當(dāng)二面角E-AC-D的余弦值為

2 5

5

時(shí)，直線CD與平面ACE所成角的具體位置，然后求直線CD與平面ACE所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)SD⊥平面AEC時(shí)，可得SD⊥AE，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，AD=1，
∴SA⊥AD，∴SD=

5

，AE=

2

5

，

SE

DE

=

SA2-AE2

AD2-AE2

=

4- 4 5

1- 4 5

=4．
（Ⅱ）底面ABCD為平行四邊形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，AD=1，∠ABC=60°，
∴AC⊥AD，SA⊥AC，AS∩AD=A，∴AC⊥平面SAD，
∴∠EAD就是二面角E-AC-D的平面角，
由（Ⅰ）可知：SD⊥平面AEC時(shí)，AE=

2

5

，此時(shí)二面角E-AC-D的余弦值為

2 5

5

，直線CD與平面ACE所成的角就是∠ECD，
它的正弦值為：

ED

CD

=

AD2-AE2

CD

=

1- 4 5

2

=

5

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查張?bào)阌昶矫嫠�成角的求法，二面角的�?yīng)用，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．