Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，并且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=2^x．
（1）求f（log₂

1

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）的值；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性及已知表達(dá)式可得f（log₂

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3

）=f（-log₂3）=-f（log₂3）=-2log23，再由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)果；
（2）設(shè)任意的x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），由已知表達(dá)式可求f（-x），再由奇偶性可得f（x）；由奇偶性易求f（0）；

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=2^x，
∴f（log₂

1

3

）=f（-log₂3）=-f（log₂3）=-2log23=-3．
（2）設(shè)任意的x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=2^x，∴f（-x）=2^-x，
又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x，即當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=-2^-x；
又f（0）=-f（0），f（0）=0，
綜上可知，f（x）=

2x，x＞0 0，x=0 -2-x，x＜0

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)解析式的求解、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．