Question

已知p³+q³=2,求證：p+q≤2.

Answer 1

分析：本題已知的最高次項的次數(shù)為三次,很難降次.

雖然可分解為(p+q)(p²-pq+q²)=2,但出現(xiàn)了我們不需要的二次式p²-pq+q²，所以正面很難入手,而所證的是一次式p+q,由一次式很容易升高次數(shù),所以可用反證法.

證明：假設(shè)p+q＞2,則p＞2-q.

∴p³＞(2-q)³.

∵p³+q³=2，

∴2=p³+q³＞(2-q)³+q³=8-12q+6q²-q³+q³

=8-12q+6q²=6(q-1)²+2≥2，

∴2＞2與事實矛盾.

∴假設(shè)不成立.

∴p+q≤2成立.

綠色通道

    在已知次數(shù)較高,所證次數(shù)較低時,正面解答不易,可用反證法.