已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為
和
,過(guò)點(diǎn)
的直線與橢圓相交于
兩點(diǎn),且
,
.
(I)求橢圓的離心率;
(II)求直線的斜率;
(III)設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)
關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,直線
上有一點(diǎn)
在
的外接圓上,求
的值.
解:(Ⅰ)由且
,得
,則
,
解得.故離心率
.…………………………………………3分
(Ⅱ)解法1.由(Ⅰ),得,所以,橢圓方程為
.
設(shè)直線的方程為
,即
.
設(shè),則它們的坐標(biāo)滿足方程組
消去,并整理得
.
依題意, ,解得
.
由根與系數(shù)的關(guān)系得
, �、�
, �、凇�
由點(diǎn)是線段
的中點(diǎn),得
,
即 �、�
由①,③解得
將代入②解得
解法2.
由(Ⅰ),得,所以,橢圓方程為
.
設(shè)直線的方程為
,又設(shè)
,則它們的坐標(biāo)滿足方程組
消去
,并整理得
,
依題意,,解得
.
由點(diǎn)是線段
的中點(diǎn),得
.
①
由根與系數(shù)的關(guān)系得
,
②
,
③
由①,
②得 ,代入③并整理得
,即
,于是
.
直線的斜率為
.…………………………………………7分
(Ⅲ) 解法1. 由(Ⅱ)解法1可得(或由解法2得
)
當(dāng)時(shí),
,則
,
(如圖)
,
的中點(diǎn)為
.
于是線段的垂直平分線
方程為
,
直線與
軸的交點(diǎn)
是
的外接圓的圓心.
因此,
的外接圓的方程為
.
直線的斜率為
,直線
的方程為
.
于是,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
由,解得
所以,
.
當(dāng)時(shí),同理可得
.所以,
.
解法2.
由(Ⅱ)得,
當(dāng)時(shí),
,則
,
由橢圓的對(duì)稱性可知,于是
三點(diǎn)共線.
因?yàn)辄c(diǎn)在
的外接圓上,且
,
所以,四邊形為等腰梯形.
由直線的方程為
,則點(diǎn)
的坐標(biāo)滿足
.
因?yàn)?sub>,則
,
解得 (舍),或
,則
,所以
.
當(dāng)時(shí),同理可得
.所以,
.
解法3.
若點(diǎn)在
的外接圓上,則
.
由(Ⅱ)得,
當(dāng)時(shí),
,則
,
由直線的方程為
,則點(diǎn)
的坐標(biāo)滿足
.
于是,
,
由向量的夾角公式得:,
則.
.
,
,
即,由
得
,則
,所以
.
當(dāng)時(shí),同理可得
.所以,
.………………13分
說(shuō)明:本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和集合性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想,考查運(yùn)算能力和推理能力.
由(Ⅱ)得,滿足條件的直線過(guò)橢圓的短軸的頂點(diǎn),這個(gè)結(jié)論是下面的一般結(jié)論的一個(gè)特例.
命題:已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為
和
,過(guò)點(diǎn)
的直線與橢圓相交于
兩點(diǎn),若
,則該直線一定過(guò)
或
點(diǎn).
證明.由知,
,則
,即
,所以,
,
.
設(shè)直線的方程為
,
,則它們的坐標(biāo)滿足方程組
消去得
.
由得
,
于是, ①
, ②
解①得,代入②,
,
解出得
,由
及②得
�、�
把代入③式并整理得
,
.命題得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年山東省高考模擬預(yù)測(cè)卷(四)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
給定橢圓:
,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)
,半徑為
的圓是橢圓
的“伴隨圓”. 已知橢圓
的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是
,橢圓
上一動(dòng)點(diǎn)
滿足
.
(Ⅰ)求橢圓及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)P作直線
,使得直線
與橢圓
只有一個(gè)交點(diǎn),且
截橢圓
的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為
.求出
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年廣東省汕頭市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
((本小題滿分14分)
給定橢圓:
,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)
,半徑為
的圓是橢圓
的“伴隨圓”.
已知橢圓
的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是
,橢圓
上一動(dòng)點(diǎn)
滿足
.
(Ⅰ)求橢圓及其“伴隨圓”的方程
(Ⅱ)試探究y軸上是否存在點(diǎn)(0,
)
,使得過(guò)點(diǎn)
作直線
與橢圓
只有一個(gè)交點(diǎn),且
截橢圓
的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為
.若存在,請(qǐng)求出
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年廣東省汕頭市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題滿分14分)
給定橢圓:
,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)
,半徑為
的圓是橢圓
的“伴隨圓”.
已知橢圓
的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是
,橢圓
上一動(dòng)點(diǎn)
滿足
.
(Ⅰ) 求橢圓及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ) 過(guò)點(diǎn)P作直線
,使得直線
與橢圓
只有一個(gè)交點(diǎn),且
截橢圓
的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為
.求出
的值.
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