Question

（本小題12分）如圖，已知直角梯形中，且，又分別為的中點，將△沿折疊，使得.

（Ⅰ）求證：AE⊥平面CDE；

（Ⅱ）求證：FG∥平面BCD；

（Ⅲ）在線段AE上找一點R，使得平面BDR⊥平面DCB， 并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）（Ⅱ）利用判定定理證明線面平行時，關鍵是在平面內找一條與已知直線平行的直線，解題時可先直觀判斷平面內是否已有，若沒有，則需作出該直線，�？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過平行線分線段成比例等．證明直線和平面垂直的常用方法：（1）利用判定定理．（2）利用判定定理的推論．（3）利用面面平行的性質．（4）利用面面垂直的性質.（Ⅲ）判定面面垂直的方法（1）面面垂直的定義，即證兩平面所成的二面角為直角；（2）面面垂直的判定定理

試題解析：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.

∵DE∩EC＝E，DE、EC?平面DCE. 2分

∴AE⊥平面CDE. 4分

（2）取AB中點H，連接GH、FH，

∴GH∥BD，FH∥BC，

又GH∩FH＝H，

∴平面FHG∥平面BCD， 7分

∴GF∥平面BCD. 8分

（3）取線段AE的中點R，則平面BDR⊥平面DCB

取線段DC的中點M,取線段DB中點H,連接MH,RH,BR,DR

在△DEC中，

∵M為線段DC,H為線段DB中點，R為線段AE中點

又,

∴ RH⊥DC 10分

∴ RH⊥面DCB 11分

∵ RH?平面DRB

平面DRB⊥平面DCB

即 取AE中點R時，有平面DBR⊥平面DCB 12分

（其它正確答案請酌情給分）

考點：立體幾何綜合應用