Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）；
（3）記T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），即a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，∴，
∴即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．…（2分）
∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴．…（3分）
∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，∴b_n+1-b_n=2．
即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₁，∴b_n=2n-1．…（6分）
（2）∵，
∴++…+
=++…+
=（1-++…+）
=
=．…（9分）
（3）T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n
=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．①
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，…（11分）
∴-T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．…（13分）
分析：（1）由S_n=2a_n-2，利用，能求出數(shù)列{a_n}的通項公式，由點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）由，利用裂項求和法能求出++…+．
（3）由T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．利用錯位相減法能求出T_n．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法和錯位相減法的合理運用．