Question

已知數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，2a_n+1=a_n+1•a_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，由此猜測{a_n}的通項公式，并證明你的結論；
（Ⅱ）證明：a₁•a₃•a₅…a_2n-1＜

1-an 1+an

＜

2

sin

1

2n+1

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）令n=1，2，3，可求a₂，a₃，a₄的值，猜想an=

n

n+1

，用數學歸納法即可證明．
（Ⅱ）

1-an 1+an

=

1- n n+1 1+ n n+1

=

1 2n+1

，可證

2n-1

2n

＜

2n-1

2n+1

，從而有a1•a3•a5…a2n-1=

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1 3 × 3 5 ×…× 2n-1 2n+1

=

1 2n+1

；令函數f(x)=x-

2

sinx，利用導數可得x＜

2

sinx在(0，

π

4

)恒成立，可知0＜

1 2n+1

≤

1 3

＜

π

4

，則有

1 2n+1

＜

2

sin

1 2n+1

．

解答： 解：（Ⅰ）令n=1，2，3可知a2=

2

3

，a3=

3

4

，a4=

4

5

，
猜想an=

n

n+1

，下用數學歸納法證明．
（1）n=1時，顯然成立；
（2）假設n=k時，命題成立．即ak=

k

k+1

．
當n=k+1時，由題可知ak+1=

1

2-ak

=

1

2- k k+1

=

k+1

k+2

．
故n=k+1時，命題也成立．
由（1）（2）可知，an=

n

n+1

．
（Ⅱ）證明：∵

1-an 1+an

=

1- n n+1 1+ n n+1

=

1 2n+1

，
∵

2n-1

2n

＜

2n-1

4n2-1

=

2n-1

2n-1 • 2n+1

=

2n-1

2n+1

，
a1•a3•a5…a2n-1=

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1 3 × 3 5 ×…× 2n-1 2n+1

=

1 2n+1

，
∴a1•a3•a5…a2n-1＜

1-an 1+an

，
由于

1-an 1+an

=

1 2n+1

，可令函數f(x)=x-

2

sinx，則f′(x)=1-

2

cosx，
令f'（x）=0，得cosx=

2

2

，給定區(qū)間(0，

π

4

)，則有f'（x）＜0，則函數f（x）在(0，

π

4

)上單調遞減，
∴f（x）＜f（0）=0，即x＜

2

sinx在(0，

π

4

)恒成立，
又0＜

1 2n+1

≤

1 3

＜

π

4

，則有

1 2n+1

＜

2

sin

1 2n+1

，即

1-an 1+an

＜

2

sin

1

2n+1

．

點評：該題考查由遞推式求數列通項、證明不等式，數學歸納法是數列部分常用方法．