函數(shù)f(x)=
2x-12x+1
（x∈R）．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）解不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0．
分析：（1）利用單調(diào)性的定義，在定義域中任取兩個實數(shù)x1，x2，且x1＜x2，作差f（x1）-f（x2）后化簡，判斷即可；
（2）利用（1）中函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，脫去“外衣”，即可求得原不等式的解集．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)．
證明：f（x）=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
，
在定義域中任取兩個實數(shù)x1，x2，且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
；
∵x1＜x2，
∴0＜2x1＜2x2，
∴f（x1）-f（x2）＜0．
∴函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)．…（10分）
（2）∵f（-x）=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
1+2x
=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（13分）
∴f（1-m）+f（1-m2）＜0即f（1-m）＜-f（1-m2），
∴f（1-m）＜f（m2-1），1-m＜m2-1，m2+m-2＞0，m＜-2或m＞1．
∴原不等式的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）．…（16分）
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查轉(zhuǎn)化思想與推理運算的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2x-a
2x+1
是奇函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）解不等式f(x)＜
3
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2x
+alnx-2(a＞0)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．當(dāng)a=1時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[e-1，e]上有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2x        ，x≤
1
2
|log2x| ，x＞
1
2
，g（x）=x+b，若函數(shù)y=f（x）+g（x）有兩個不同的零點，則實數(shù)b的取值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=
2x-1a+2x+1
是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f(x)=2x-
1
x
的零點所在的區(qū)間是（　�。�

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