Question

20．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n+1=2S_n（n∈N^*），a₁=2，則數列{a_n}通項公式a_n=${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}2\\{4×{3^{n-2}}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{n=1}\\{n≥2}\end{array}$．

Answer 1

分析 當n≥2根據題設條件可知a_n=2S_n-1，兩式相減整理得a_n+1=3a_n，判斷出此時數列{a_n}為等比數列，a₂=2a₁=4，公比為3，求得n≥2時的通項公式，最后綜合可得答案．

解答 解：當n≥2時，a_n=2S_n-1，
∴a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，
即a_n+1=3a_n，
∴數列{a_n}為等比數列，a₂=2a₁=4，公比為3，
∴a_n=4•3^n-2，
當n=1時，a₁=2，
∴數列{a_n}的通項公式為：${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}2\\{4×{3^{n-2}}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{n=1}\\{n≥2}\end{array}$．
故答案為：${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}2\\{4×{3^{n-2}}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{n=1}\\{n≥2}\end{array}$．

點評 本題主要考查了數列的遞推式求數列通項公式．解題的最后一定要驗證a₁．屬于中檔題．