Question

．（本題滿分12分）

如圖甲，直角梯形中，，，點、分別在，上，且，，，，現將梯形沿折起，使平面與平面垂直（如圖乙）．

    （Ⅰ）求證：平面；

    （Ⅱ）當的長為何值時，二面角的大小為？

 

Answer 1

【答案】

法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

MB//平面DN            C．…………………2分

同理MA//平面DNC，又MAMB=M, 且MA,MB平面MA                  B．

． （6分）

（Ⅱ）過N作NH交BC延長線于H，連HN，

平面AMND平面MNCB，DNMN,                …………………8分

DN平面MBCN，從而,

為二面角D-BC-N的平面角．       =   …………………10分               

由MB=4，BC=2，知60º，

．  sin60º =        …………………11分            

由條件知：    …………………12分             

解法二：如圖，以點N為坐標原點，以NM，NC，ND所在直線分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系易得NC=3，MN=，

設，則．

（I）．

，

∵，

∴與平面共面，又，．                 （6分）

（II）設平面DBC的法向量，

則，令，則， 

∴．                                                      （8分）

又平面NBC的法向量．                                           （9分）

              …………………11分

即：    又即    …………………12分

 

【解析】略