Question

（本小題12分）如圖，一只船在海上由西向東航行，在處測(cè)得某島的方位角為北偏東角，前進(jìn)后在處測(cè)得該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍范圍內(nèi)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行．
（I）若，問(wèn)該船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果有，那么該船自處向東航行多少距離會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？
（II）當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)？

Answer 1

（I）該船自向東航行會(huì)有觸礁危險(xiǎn)．
（II）時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．

解：（Ⅰ）作，垂足為，
由已知，，所以，
所以，，
所以，
所以該船有觸礁的危險(xiǎn)．
設(shè)該船自向東航行至點(diǎn)有觸礁危險(xiǎn)，
則，
在△中，，，
，，
所以，（）．
所以，該船自向東航行會(huì)有觸礁危險(xiǎn)．
（Ⅱ）設(shè)，在△中，由正弦定理得，，
即，，）
而，
所以，當(dāng)，即，
即時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．