Question

【題目】已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且．

（1）求a的取值范圍；

（2）求函數(shù)在上的最大值．

（3）已知，證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）0；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）的導(dǎo)數(shù)為，由函數(shù)在上是增函數(shù)，可求的取值范圍；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，可得到函數(shù)在[0，+∞）上的最大值；（3）結(jié)合函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得，化簡即，又因為，則由（2）的性質(zhì)可得

試題解析：（1）的導(dǎo)數(shù)為，

因為函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

所以只需，

又因為，所以

（2）因為x∈[0，+∞），所以

所以在[0，+∞）上單調(diào)遞減，

所以在[0，+∞）上的最大值為．

（3）證明：因為a＞1，b＞0，所以，

由（1）知在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以，

即，化簡得，

又因為，

由第（2）問可知，

即，

綜上得證．