Question

已知，點A(s,f(s)), B(t,f(t))

  (I) 若,求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；

(II)若函數(shù)的導函數(shù)滿足：當|x|≤1時，有||≤恒成立，求函數(shù)的解析表達式；

(III)若0<a<b, 函數(shù)在和處取得極值，且,證明：與不可能垂直.

Answer 1

(I) f(x)的增區(qū)間是(-∞，)和[1,+ ∞]. …………………………3分

(II) f(x)=x³x. ……………………9分

(III) 證明見解析

解析:

(I) f (x)=x³-2x²+x, (x)=3x²-4x+1,

           因為f(x)單調遞增，

所以(x)≥0，

即 3x²-4x+1≥0,

解得，x≥1, 或x≤,……………………………2分

故f(x)的增區(qū)間是(-∞，)和[1,+ ∞]. …………………………3分

(II) (x)=3x²-2(a+b)x+ab.

     當x∈[-1，1]時，恒有|(x)|≤.………………………4分

     故有≤(1)≤，

       ≤(-1)≤，

       ≤(0)≤,………………………5

    即     ………6

①+②，得

≤ab≤，……………………………8分

又由③，得

    ab=，

將上式代回①和②，得

  a+b=0,

故f(x)=x³x. ……………………9分

(III) 假設⊥,

 即= = st+f(s)f(t)=0, ……………10分

(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,

 [st-(s+t)a+a²][st-(s+t)b+b²]=-1, ……………………………………11分

 由s，t為(x)=0的兩根可得，

     s+t=(a+b), st=, (0<a<b),

 從而有ab(a-b)²=9. ……………………………………12分

 這樣(a+b)²=(a-b)²+4ab

              = +4ab≥2=12，

即 a+b≥2,

這樣與a+b<2矛盾. ……………………13分

故與不可能垂直.