Question

如圖，在正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點，設正方體的棱長為2a.

 

（1）求AD與B₁C所在的角；

   （2）證明：平面EB₁D⊥平面B₁CD；

   （3）求二面角E―B₁C―D的余弦值.

Answer 1

解法一：（1）正方體中，AD∥BC，∴AD與B₁C所成的角為∠B₁CB.

    ∵∠B₁CB = 45°，∴AD與B₁C所成的角為45°.

   （2）取B₁C的中點F，B₁D的中點G，連結BF、EG，GF.

    ∵CD⊥平面BCC₁B₁，且BF平面BCC₁B₁  ∴DC⊥BF.

    又BF⊥B₁C，CD∩B₁C = C，

    ∴BF⊥平面B₁CD.

    ∵GF   CD，BE   CD，∴EB   GF.

    ∴四邊形BFGE是平行四邊形，

    ∴BF∥GE.

    ∴EG⊥平面B₁CD.

    又EG平面EB₁D，∴平面EB₁D⊥平面B₁CD

   （3）連結EF

∵CD⊥B₁C，GF∥CD，∴GF⊥B₁C，又EG⊥平面B₁CD，EF⊥B₁C，

∴∠EFG為二面角E―B₁C―D的平面角

∵正方體的棱長為2a，∴在△EFG中，GF=a，EF =，

即二面角E―B₁C―D的余弦值為

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標第D―xyz.

   （1），

    ，

∴AD與B₁C所成的角為45°.

   （2）取B₁D的中點F，連結EF.

∴平面EB₁D⊥平面B₁CD

   （3）設平面B₁CD的一個法向量，

由

解得

又設平面B₁CE的一個法向量為

∴二面角E―B₁C―D的斜弦值為