Question

3．如圖，在圓錐SO中，AB為底面圓O的直徑，點(diǎn)C為弧$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，SO=AB；
（1）證明：AB⊥平面SOC；
（2）若點(diǎn)D為母線SC的中點(diǎn)，求AD與平面SOC所成角；（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析 （1）由圓的性質(zhì)得出AB⊥OC，由SO⊥平面ABC得出SO⊥AB，故而AB⊥平面SOC；
（2）連結(jié)OD，由AB⊥平面SOC可知∠ADO為所求角，設(shè)圓錐底面半徑為a，求出OD，得出tan∠ADO．

解答 證明：（1）∵SO⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴SO⊥AB，
∵C為$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴AB⊥OC，又SO?平面SOC，OC?平面SOC，SO∩OC=O，
∴AB⊥平面SOC．
（2）連結(jié)OD．
∵AB⊥平面SOC，
∴∠ADO為AD與平面SOC所成的角，
設(shè)OA=a，則OC=a，SO=AB=2a，
∴SC=$\sqrt{S{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，∴OD=$\frac{1}{2}SC=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
∴tan∠ADO=$\frac{OA}{OD}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴AD與平面SOC所成角為arctan$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．