Question

自點(diǎn)A（-3，3）發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，反射光線所在的直線與圓C：x²+y²-4x-4y+7=0相切
（1）求反射光線所在的直線方程（用一般式表示）；
（2）光線自A到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-2）²+（y-2）²=1，它關(guān)于x軸的對稱圓的方程是（x-2）²+（y+2）²=1，設(shè)光線L所在直線方程是：y-3=k（x+3），由題設(shè)知，對稱圓的圓心C′（2，-2）到這條直線的距離等于1，由此能求出所求的直線方程．
（2）先求P點(diǎn)的對稱點(diǎn)到圓心的距離，再利用勾股定理求得P點(diǎn)的對稱點(diǎn)到切點(diǎn)的距離，即為光線從P點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程．

解答： 解：（1）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-2）²+（y-2）²=1，
它關(guān)于x軸的對稱圓的方程是（x-2）²+（y+2）²=1．
設(shè)光線L所在直線方程是：y-3=k（x+3），
由題設(shè)知，對稱圓的圓心C′（2，-2）到這條直線的距離等于1，
即d=

|5k+5|

1+k2

=1，
整理得，12k²+25k+12=0，
解得：k=-

3

4

或k=-

4

3

，
故所求的直線方程是y-3=-

3

4

(x+3)或y-3=-

4

3

（x+3），
即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0．
（2）根據(jù)光線的對稱性，P（-3，3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A（-3，-3），
光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程等于A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程，
A點(diǎn)（-3，-3）到圓心C（2，2）的距離為

(-3-2)2+(-3-2)2

=

50

，
∴P點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程為

50-1

=7．

點(diǎn)評：本題考查了利用求對稱直線解決光線問題，本題也可通過求得圓關(guān)于x軸的對稱圓，再求對稱圓的切線所在直線方程及切線長來解答．