Question

【題目】已知橢圓（）的左、右焦點分別為，，離心率，橢圓的短軸長為2.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線，過右焦點，且它們的斜率乘積為，設，分別與橢圓交于點A，B和C，D.

①求的值；

②設的中點M，的中點為N，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）由短軸長為，得到，再由離心率結合計算可得橢圓方程；

（2）①由直線，過右焦點，設出直線的方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，計算出弦長，再由兩直線的斜率乘積為，將弦長中的斜率變?yōu)?/span>可得弦，相加即可得解；

②由中點坐標公式求出、的坐標，觀察坐標知的中點在軸上，所以整理后利用基本不等式即可得到面積的最值；

解：（1）依題意可得解得，故橢圓的方程為；

（2）①設的方程為，，

聯立消去并整理得到

，

于是

同理可得

②由①知，，，，

所以，

所以的中點

所以

當且僅當即時取等號，

所以面積的最大值為