Question

4．已知函數(shù)f（x）=2sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），其中ω＞0
（1）若f（x+θ）是周期為2π的偶函數(shù)，求ω及θ的值；
（2）若f（x）在（0，$\frac{π}{3}$]上是增函數(shù)，求ω的最大值；
（3）當ω=$\frac{2}{3}$時，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)周期公式2π=$\frac{2π}{3ω}$，且ω＞0，得ω值，根據(jù)f（x+θ）是偶函數(shù)，f（-x+θ）=f（x+θ），可得θ的值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調性，可得ωπ+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，解得答案；
（3）若y=g（x）在[0，b]上有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可，進而得到答案．

解答 解：（1）由函數(shù)解析式f（x）=2sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），ω＞0整理可得
f（x+θ）=2sin[3ω（x+θ）+$\frac{π}{3}$]=2sin（3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$），
由f（x+θ）的周期為2π，根據(jù)周期公式2π=$\frac{2π}{3ω}$，且ω＞0，得ω=$\frac{1}{3}$，
∴f（x+θ）=2sin（x+θ+$\frac{π}{3}$），
∵f（x+θ）為偶函數(shù)，定義域x∈R關于y軸對稱，
令g（x）=f（x+θ）=2sin（x+θ+$\frac{π}{3}$），
∴g（-x）=g（x），
2sin（x+θ+$\frac{π}{3}$）=2sin（-x+θ+$\frac{π}{3}$），
∴x+θ+$\frac{π}{3}$=π-（-x+θ+$\frac{π}{3}$）+2kπ，k∈Z，
∴θ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．∴ω=$\frac{1}{3}$，θ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．---------（4分）
（2）∵ω＞0，
∴當x∈（0，$\frac{π}{3}$]時，3ωx+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，ωπ+$\frac{π}{3}$]，
設u=3ωx+$\frac{π}{3}$，由于y=sinu在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)，在[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]上是減函數(shù)，所以ωπ+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，∴ω≤$\frac{1}{6}$，∴ω的最大值為$\frac{1}{6}$---------（6分）
（3）當ω=$\frac{2}{3}$時，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再向上平移1個單位，得到y(tǒng)=2sin2x+1的圖象，所以g（x）=2sin2x+1，
令g（x）=0，得x=kπ+$\frac{7π}{12}$或x=kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z，
所以在[0，π]上恰好有兩個零點，
若y=g（x）在[0，b]上有10個零點，
則b不小于第10個零點的橫坐標即可，即b的最小值為4π+$\frac{11π}{12}$=$\frac{59π}{12}$．-----（12分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象和性質，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式求法，難度中檔．