分析 (Ⅰ)M是EF的中點,設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,則BM∥OE,由此能證明BM∥平面ACE.
(Ⅱ)以O(shè)為原點,OB,OC分別為x軸,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出實數(shù)λ的值.
解答 證明:(Ⅰ)∵$\overrightarrow{EM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{EF}$,∴M是EF的中點,
設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,則BM∥OE,
又∵BM?平面ACE,OE?平面ACE,
∴BM∥平面ACE.
解:(Ⅱ)以O(shè)為原點,OB,OC分別為x軸,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
A(0,-$\sqrt{3}$,0),B(1,0,0),C(0,$\sqrt{3}$,0),M(2λ-1,0,2),
$\overrightarrow{AB}$=(1,$\sqrt{3}$,0),$\overrightarrow{BM}$=(2λ-2,0,2),$\overrightarrow{BC}$=(-1,$\sqrt{3}$,0),
設(shè)平面ABM的法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),則$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0$,$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}$=0,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{(2λ-2)x+2z=0}\end{array}\right.$,取x=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3},-1,\frac{\sqrt{3}(2-2λ)}{2}$),
設(shè)平面BCM的法向量$\overrightarrow{n}$=(a,b,c),則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0,\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+\sqrt{3}b=0}\\{(2λ-2)a+2c=0}\end{array}\right.$,取x=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3},1,\frac{\sqrt{3}(2-2λ)}{2}$),
∵二面角A-BM-C的平面角的余弦值為-$\frac{7}{13}$,
∴|cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2+\frac{3}{4}(2-2λ)^{2}}{4+\frac{3}{4}(2-2λ)^{2}}=\frac{7}{13}$,
解得$λ=\frac{2}{3}$,或$λ=\frac{4}{3}$(舍).
故實數(shù)λ的值為$\frac{2}{3}$.
點評 本題考查線面平行的證明,考查滿足條件的實數(shù)值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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A. | $\frac{4}{5}$ | B. | $\frac{5}{4}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{4}{3}$ |
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