分析 (Ⅰ)M是EF的中點,設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,則BM∥OE,由此能證明BM∥平面ACE.
(Ⅱ)以O(shè)為原點,OB,OC分別為x軸,y軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出實數(shù)λ的值.
解答 證明:(Ⅰ)∵→EM=12→EF,∴M是EF的中點,
設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,則BM∥OE,
又∵BM?平面ACE,OE?平面ACE,
∴BM∥平面ACE.
解:(Ⅱ)以O(shè)為原點,OB,OC分別為x軸,y軸,建立空間直角坐標系,
A(0,-√3,0),B(1,0,0),C(0,√3,0),M(2λ-1,0,2),
→AB=(1,√3,0),→BM=(2λ-2,0,2),→BC=(-1,√3,0),
設(shè)平面ABM的法向量→m=(x,y,z),則→m•→AB=0,→m•→BM=0,
∴{x+√3y=0(2λ−2)x+2z=0,取x=√3,得→m=(√3,−1,√3(2−2λ)2),
設(shè)平面BCM的法向量→n=(a,b,c),則→n•→BC=0,→n•→BM=0,
∴{−a+√3b=0(2λ−2)a+2c=0,取x=√3,得→n=(√3,1,√3(2−2λ)2),
∵二面角A-BM-C的平面角的余弦值為-713,
∴|cos<→m,→n>|=|→n•→m||→n|•|→m|=2+34(2−2λ)24+34(2−2λ)2=713,
解得λ=23,或λ=43(舍).
故實數(shù)λ的值為23.
點評 本題考查線面平行的證明,考查滿足條件的實數(shù)值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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