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8.如圖,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,平面BDEF⊥平面ABCD,四邊形BDEF是正方形,點M在線段EF上,EMEF
(Ⅰ)當λ=12,求證:BM∥平面ACE;
(Ⅱ)如二面角A-BM-C的平面角的余弦值為-713,求實數(shù)λ的值.

分析 (Ⅰ)M是EF的中點,設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,則BM∥OE,由此能證明BM∥平面ACE.
(Ⅱ)以O(shè)為原點,OB,OC分別為x軸,y軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出實數(shù)λ的值.

解答 證明:(Ⅰ)∵EM=12EF,∴M是EF的中點,
設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,則BM∥OE,
又∵BM?平面ACE,OE?平面ACE,
∴BM∥平面ACE.
解:(Ⅱ)以O(shè)為原點,OB,OC分別為x軸,y軸,建立空間直角坐標系,
A(0,-3,0),B(1,0,0),C(0,3,0),M(2λ-1,0,2),
AB=(1,3,0),BM=(2λ-2,0,2),BC=(-1,3,0),
設(shè)平面ABM的法向量m=(x,y,z),則mAB=0,mBM=0,
{x+3y=02λ2x+2z=0,取x=3,得m=(31322λ2),
設(shè)平面BCM的法向量n=(a,b,c),則nBC=0nBM=0,
{a+3b=02λ2a+2c=0,取x=3,得n=(31322λ2),
∵二面角A-BM-C的平面角的余弦值為-713,
∴|cos<mn>|=|nm||n||m|=2+3422λ24+3422λ2=713
解得λ=23,或λ=43(舍).
故實數(shù)λ的值為23

點評 本題考查線面平行的證明,考查滿足條件的實數(shù)值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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